Логика высказываний, или пропозициональная логика

истина, ложь (обозначаемых соответственно “и” и “л”). Значение логических связок в алгебре высказываний определяют через истинностные таблицы.

Метод истинностных таблиц есть способ установления истинности высказываний, построенных в Л. в., т. к. логические функторы по заданным значениям аргументов однозначно определяют результат. Поставив в заданную формулу вместо переменных их значения и выполнив над ними указанные логические операции в порядке, зависящем от расстановки скобок в формуле, получим в результате значение “и” или “л” для всей формулы и, следовательно, установим истинность (или ложность) сложного высказывания, описанного этой формулой.

Формула пропозициональной логики называется тавтологией, если она истинна при любом возможном распределении истинностных значений переменных, входящих в нее. Существует множество методов определения, является ли формула тавтологией. Наиболее распространенный метод — метод истинностных таблиц. Например, легко проверить, что формулы, выражающие логические законы, являются тавтологиями. Метод истинностных таблиц может быть использован при доказательстве или опровержении корректности вывода посредством преобразования вывода в импликацию, где конъюнкция посылок составляет антецедент (левую часть импликации), а заключение совпадает с консеквентом (с правой частью импликации). Если эта импликация — тавтология, то вывод, представленный в ней указанным выше способом, корректен.

Например, корректность применения modus ponens подтверждается тем что формула (((А -> В) & А) —> В) — тавтология. Для обоснования, вместо базового, но громоздкого метода истинностных таблиц, приведем его сокращенный (устный) вариант, называющийся методом “приведения к абсурду”. Допустим что формула (((А -> В) & А) -> В) — не тавтология, значит, она может иметь значение “л” по крайней мере при одном наборе значений аргументов. Но для того, чтобы эта формула имела значение “л”, значение ее подформулы ((А —> В) & А) должно быть “и”, а значение В — “л”. Но истинное значение подформулы ((А —> В) & А) может иметь место только при истинных значениях ее конъюнктов — (А -” В) и А. Мы получили обязательные значения А — “и” и В — “л”; подставив их в подформулу (А —> В), получаем ее ложное значение. Мы получили противоречие (абсурд): с одной стороны, для того чтобы формула (((А -> В) & А) -> В) имела ложное значение, необходимо, чтобы ее подформула (А —> В) была истинной, а с другой стороны — ложной Но этого не может быть, следовательно, исходная формула не имеет значения лжи ни при каком наборе значений ее аргументов, т. е. она тавтология.

Исчисление высказываний имеет дело с теми же логическими формулами, но устроено как логическое исчисление (см. “Исчисление логическое”). Существуют различные варианты исчисления высказываний, каждый из которых имеет свои аксиомы и свои правила вывода Для аксиом используются тавтологии Обычно используют два правила вывода: правило подстановки и modus ponens (Правило подстановки: “Из формулы F(A), содержащей букву А, выводима любая формула F(B), получающаяся заменой всех вхождений А в формуле F на произвольную, но одинаковую для всех вхождений А, формулу В”. Оно позволяет формулировать логические законы как соотношения между простыми высказываниями, а затем распространять эти законы на любые сложные высказывания.) Оба правила широко используются во всех логических рассуждениях.

==452

ЛОГИКА МОДАЛЬНАЯ

Исчисление высказываний строится как дедуктивная система. Это означает, что подходящие аксиомы и правила выхода задаются т. о., что каждая тавтология может быть доказана, следовательно, исчисление является семантически полным. Оно также разрешимо и непротиворечиво: для каждой системы исчисления высказываний определено, что теоремы в ней — только тавтологии, а в множестве истинных предложений, какими являются тавтологии, ни одно предложение не противоречит другому. А. Г. Кислое

ЛОГИКА МОДАЛЬНАЯ - логическая теория модальных операторов, применяемых к высказываниям или предикатам.

Модальность — категория, выражающая отношение высказывания (суждения) к действительности или отношение говорящего к содержанию высказываемого. Модальность может иметь значение утверждения, приказания, пожелания и др., а в естественном языке выражается специальными формами наклонений, интонацией или модальными словами (например, “возможно”, “необходимо”, “должен” и т. п.). В логике такие слова называются модальными операторами. Различают два типа модальностей: модальности de re (о вещи) представляют собой особый тип связи субъекта с предикатом, например: “Р необходимо присуще S”; модальности de dicto (о речи) представляют собой выражения, относящиеся к высказываниям. В современной логике широкое распространение получили исследования модальностей типа de dicto. Если модальный оператор относится к высказыванию, то, благодаря неэкстенсиональному характеру, с его помощью образуется новое высказывание. Т. с. М является модальным оператором, относящимся к высказыванию А, если и только если истинностное значение (М)А не определяется непосредственно истинностным значением А.

Л.д. ведет свое происхождение от модальной силлогистики Аристотеля, а также теорий модальности мегариков и стоиков. Позже проблемы модальностей широко обсуждались средневековыми авторами: Абеляром, Петром Испанским, Фомой Аквинским и др. Большой интерес для развития Л. м. представляют философские исследования категорий “возможность” и “действительность”; ведущую роль играют здесь исследования Г. Лейбница и И. Канта. Начало современного этапа в истории Л. м. связано с обновлением логического арсенала, но не совпадает с зарождением современной математической логики в работах Дж. Буля, Г. Фреге, Б. Рассела, Д. Гильберта. После длительного “забвения” логико-модальные исследования в XX в. возобновляются при попытке К. И. Льюиса решить проблему логического следования путем построения теории строгой импликации. Это возрождение приняло форму критики логико-математических исследований; оно определялось как “неклассическая” альтернатива последних, но не получило дальнейшего развития. Только с пониманием Л. м. как “надстройки” над тем базисом математической логики, который представлен логикой высказываний и логикой предикатов,  изучение  модальностей  стало приобретать подлинно современный вид, а окончательное определение статуса Л. м. получила с возникновением семантики возможных миров. В целом развитие современной Л. м. связано с именами Я. Лукасевича, К. Геделя, R Фейса, С. Крипке, Г. X. фон Вригга, Я. Хинтикки и др.

Теперь о Л. м. можно говорить как о семействе родственных логических систем со сходной формальной структурой: алетическая логика исследует понятия необходимости и возможности; деонтическая логика исследует понятия “разрешено” и “обязательно”; эпистемическая логика исследует понятия знания и веры; логика времени исследует временные контексты; динамическая логика — синтез и верификацию программ. Список различных систем Л. м. не может быть завершен, т. к. их классификация и взаимоотношения остаются проблематичными. А. Г. Кислое

==453

ЛОГИКА НЕКЛАССИЧЕСКАЯ

ЛОГИКА НЕКЛАССИЧЕСКАЯ -

термин, объединяющий различные логические системы, отрицающий те или иные из фундаментальных законов логики (см. “Закон логический”). Среди множества таких систем имеется возможность выделить две базовые группы логик. Во-первых, интуиционистские (близкие к ним — конструктивные) системы логики, которые отказываются от закона исключенного третьего и от основывающихся на нем косвенных методов доказательства, что обусловлено отказом от абстракции актуальной бесконечности в пользу абстракции потенциальной бесконечности. Во-вторых, параконсистентные (паранепротиворечивые) логики, которые отказываются от закона (не)противоречия и, как следствие, не позволяют выводить из противоречий все что угодно.

Другие системы Л. н. тоже связаны с отказом от принципов классической традиции, но не столь явно апеллируют к упомянутым выше законам, хотя имеет смысл указывать их генетическую связь с базовыми неклассическими направлениями, например: многозначные (поливалентные) логики отвергают принцип бивалентности (его возможная формулировка: “Каждое высказывание либо истинно, либо ложно”), который безусловно связан, но содержательно не совпадает с законом исключенного третьего, и допускают множественность (в частности — бесконечную) истинностных оценок, трактуя последние как степени подтверждения, правдоподобия и т. п.; релевантные логики отказываются от классического понимания следования и основываются на содержательной зависимости заключения от посылок, потребность в чем спровоцирована парадоксами материальной импликации, связанными с законом (не)противоречия.

Предложенное деление систем Л. н. вполне удовлетворяет нашим целям, хотя и достаточно условно. Более точная классификация, без сомнения, представляет интерес, но затруднена в связи с возможностью различных комбинаций совмещения “неклассических” свойств в одной системе.

Сомнения в незыблемости указанных оснований неклассической логики можно найти и у самого Аристотеля (прежде всего — это трудности, связанные с законом исключенного третьего, которые обсуждаются в девятой главе трактата “Об истолковании”), и у его последователей в средние века (например, известно обсуждение принципа Дунса Скотта, который нередко получает формулировку парадокса материальной импликации: “из противоречия (лжи) следует все что угодно”). В XX в. формирование неклассической логики обязано таким исследователям, как Н. А. Васильев (создал имеющую параконсистентную сущность “воображаемую логику”, сформулировал закон исключенного п-го), Л. Э. Ж. Брауэр (положил основы интуиционной математики и логики, обосновав неприменимость закона исключенного третьего в рассуждениях о бесконечных множествах), Я. Лукасевич (создал трехзначную, затем — четырехзначную и, наконец, — многозначную логику), Э. Л. Пост (чуть позже, но независимо от Я. Лукасевича, построил систему многозначной логики), А. Н. Колмогоров (положил начало конструктивной логики, истолковав интуиционистскую логику как исчисление задач, где базовым принципом является построение, конструирование объекта), К. Биркгоф (первым выступил с идеями создания логики квантовой механики) и др.

Л. н. представляется перспективным направлением развития логики, которое не требует упразднения и даже ослабления значимости классического направления (связанного прежде всего с именами Аристотеля, Г. Фреге, Б. Рассела), а является одновременным углублением и расширением области логических исследований. Среди большого количества причин, которые могут обеспечить интерес к исследованиям в рамках Л. н., выделим некоторые причины методологического характера: расширение интерпретаций пропозициональных констант и переменных, разработка проблемы истинностной оценки высказываний, методологические параллели с неэвклидовой

==454

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

геометрией, квантовой механикой и др., рассуждения о неклассических объектах и формулировка неклассических теорий множеств, связь метатеорий с топологией, с теорией решеток и т. д., новый взгляд на парадоксы рациональности.

А. Г. Кислое

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ - раздел дедуктивной логики, в котором ведущую роль играет влияние внутренней структуры суждений на логический вывод. Поскольку здесь полностью сохраняется характер связей логики высказываний (см. “Логика высказываний”), то Л. п. можно рассматривать как расширение последней. Классический вариант Л. п. является непосредственным преемником аристотелевской силлогистики, но субъектно-предикативная структура суждений анализируется теперь с большей глубиной

Алфавит Л. п., помимо символов логики высказываний, содержит также символы предметов: предметные переменные (х1, х2, хЗ, ...) и предметные константы (а1, а2, аЗ, ...); символы свойств и отношений: предикатные буквы (P, Q, R ...); функциональные буквы (fl, f2, О, ...); кванторы: V — квантор общности (“для всех”) и 3 — квантор существования (“существует”).

Дадим определение терма Л. п.: a) всякая предметная переменная или константа есть терм; b) если f — функциональная буква и tl,...,tn — термы, то f(tl, ..., tn) есть терм; c) больше никаких термов, кроме указанных в а) и Ь), нет.

Элементарные формулы Фо получаются посредством применения предикатных букв к термам: P(tl, ..., tn). В зависимости от величины n определяется “местность” функциональных и предикатных букв. Например, P(t) — одноместный предикат (свойство), R(tl, t2) — двухместный предикат (бинарное отношение) и т. д.

Синтаксическая категория формул ? Л. п. определяется так же, как и в логике высказываний, но добавляется следующее положение:

— если А формула и ? — предметная переменная, тоУхАиЭхА — тоже формулы.

Т. о. силлогистика является теорией одноместных предикатов и четыре формы ее суждений приобретают следующий вид: А - V ? (S(x) -” Р(х)) или (-3 χ (S(x) & (^Р(х)))); E - V ? (S(x) -> (ШР(х))) или (-d x (S) & ?(χ))); I - Ξ χ (S(x) & Ρ(χ)) θли (-iV ? (S(x) -> (^Ρ(χ)))); Ξ - 3 χ (S(x) & (-.P(x))) θли (-.V ? (S(x) -> Ρ(χ))), γде S(x) и Р(х) — одноместные предикаты, соответствующие субъекту и предикату суждений.

Л. п. невозможно представить в виде алгебраической системы, т. к. процедура определения истинности ее формул, содержащих кванторы, в общем случае заключается в подстановке всех возможных значений предметных переменных. Поскольку предметная область может быть бесконечной, то и эта процедура может оказаться бесконечной. Л. п. организуется в виде исчисления предикатов, которое содержит аксиомы и правила вывода исчисления высказываний, дополняя их собственными; это исчисление непротиворечиво, полно, но неразрешимо.

А. Г. Кислов

ЛОГИКА ФОРМАЛЬНАЯ - наука, изучающая мышление с т. зр. его способности быть оформленным в языке.

Наиболее распространенным для пропедевтического варианта Л. ф. остается определение ее как науки о формах и законах правильного мышления. Однако именно языковая деятельность, в самом широком понимании языка как семиотической системы, задает формы мысли и потому являет собой пространство логических исследований.

Указанная в определении способность мышления порождает возможность оперировать следующими логическими формами: понятиями, суждениями, умозаключениями. В качестве

==455

наиболее сложного вида логических форм иногда выделяют и теории. Часто эту последовательность воспринимают как некую структурную иерархию. Понятие объявляется наиболее простой из форм мышления, суждение представляется как система понятий, умозаключение как система суждений, ну а теория как система умозаключений. Эта иерархия недостаточно ясна, и ее обоснования порой легко подвергаются критике, однако она часто используется в качестве удобной схемы изложения предметной области Л. ф., что, собственно, подкрепляется многовековой традицией преподавания этой дисциплины (см. “Понятие”, “Суждение”, “Умозаключение”).

Рассмотренные логические формы и лежащие в основе операций с ними законы и принципы, т. е. так называемый логический аппарат, составляют Л. ф., а выработка самих эффективных логических аппаратов — ее основная цель.

В связи с различием логических форм выделяют два основных направления Л. ф.: 1) Концептуальный анализ, т. е. исследование процедур определения языковых терминов (понятий) и формулировка принципов отношений между ними. Это направление включает в себя широкий спектр теорий, от классификации родо-видовых отношений до конструирования концептуальных “полей”. 2) Теория вывода, т. е. анализ рассуждений, формализация законов и принципов связи высказываний (суждений) в умозаключениях. Здесь формулируются способы корректного получения суждения, называющегося заключением, из некоторых исходных суждений, называющихся посылками, посредством рассуждения. В рамках теории вывода выделяют логику, рассматривающую дедуктивные рассуждения, т. е. определенные способы доказательств (см. “Дедукция”), и логику, занимающуюся правдоподобными рассуждениями: индукция, аналогия и др. (см. “Правдоподобные рассуждения”). Кроме того, Л. ф. затрагивает и такие вопросы, например, как формализация содержательных теорий, проблема смысла и значения, логические ошибки и парадоксы

==456

и т. д. Самостоятельное выделение этих вопросов достаточно условно, все они погружаются в проблематику основных направлений и тесно переплетены друг с другом (см. “Значение”, “Смысл”, “Парадокс”).

Л. ф. исследует формы мысли и их сочетания, отвлекаясь от конкретного содержания. Например, правильное по форме дедуктивное рассуждение не зависит от того, истинны или нет взятые сами по себе посылки и заключение. Главное то, что оно обеспечивает истинность заключения при истинности посылок, т е. заключение вытекает из посылок с необходимостью, общая схема такого рассуждения выражает логический закон (см. “Закон логический”). Неправильные по форме рассуждения при истинных посылках могут привести как к истинным, так и к ложным заключениям. Одна из основных задач Л. ф. - систематическая формализация и каталогизация правильных способов рассуждений. Различные виды Л. ф. отличаются друг от друга именно тем, какие классы рассуждений они обосновывают. В современной Л. ф мыслительные процессы изучаются путем их оформления в особых (искусственных) формализованных языках, т н логических исчислениях (см. “Исчисление логическое”). В расширении возможностей оценивать (в качестве правильных или неправильных) различные виды рассуждений и состоит один из главнейших стимулов дальнейшего развития логики.

За два с половиной тысячелетия история логики пережила три крупных периода своего развития, которые можно обозначить, как античная логика, схоластическая логика и современная логика Всякий раз можно было наблюдать совпадение активных логических исследований с особым положением проблемы языка в философии той или иной эпохи.

Фрагменты логических исследований известны нам уже из истории древнеиндийской и древнекитайской философии, однако для западной цивилизации начало логической культуры безусловно связано с Древней Грецией V — III вв. до н. э. Это было время возникшей “интеллектуальной страсти” к силе логоса, страсти, которая неразрывно связана с демократическими реалиями афинского полиса: политическая борьба, суды, рыночные споры и т. д., где убедительная и доказательная речь получила роль необходимого инструмента. Логика зародилась в лоне философии и получила развитие под влиянием интереса к ораторскому искусству. Риторика оказалась колыбелью для логических и грамматических исследований (см. “Риторика”). Далее формирование области логических проблем связано с критикой софистики (см. “Софизм”), сначала в рамках сократической философии, а после в качестве самостоятельного учения. Следует упомянуть и имевшие место попытки систематизировать знания по математике (Евдоксова доктрина пропорций, доэвклидовские опыты по аксиоматизации элементов геометрии). В целом можно сказать, что потребность в рефлексии над основаниями формирующейся рациональности породила совершенно специализированное изучение форм мышления. Титул “отца логики” по праву получил Аристотель (IV в. до н. э.), ибо начало логики как науки было положено в его трудах, которые позже (в I в. до н. э.) были обобщены под названием “Органон” (“инструмент”), сам же термин “логика” Аристотелем не употреблялся. Дальнейший вклад в развитие античной логики внесли ранние стоики (Хрисипп, III в. до н. э.). В христианское средневековье (с середины XII в.) произошло “второе открытие” Аристотеля через арабские источники. Одна из первых работ, где были возобновлены логические исследования и стал использоваться термин “логика”, это “Диалектика” Абеляра. Логические проблемы разрабатывались также другими схоластами (Михаил Пселл, Петр Испанский, Дунс Скот, У. Оккам и др.). Исследования эти были так или иначе связаны с процедурой экзегезы (толкования христианских Священных Писаний). К сожалению, более известен, зачастую благодаря сатире (например, Рабле), вырожденный вариант схоластических споров периода упадка логической культуры средневековья, где превалируют излишняя педантичность, обилие уловок и другие “хитрости” эвристической полемики. Однако необходимо помнить, что схоласты в лучших своих трудах представили образцы концептуального анализа, интерес к которым не пропал за многие века истории европейской науки. Также именно схоласты придали аристотелевской логике роль необходимого знания, она как пропедевтика наук прочно вошла в структуру образования, стала Schullogik.

В новое время (с середины XIV в.) возрос интерес к проблемам индукции, что связано с критикой средневековой схоластики и стремлением создать методологию, которая бы более соответствовала новой (экспериментальной, опытной) науке о природе. Однако “генетическая” связь с прежними исследованиями просматривается уже в названиях трудов (“Новый Органон” Ф. Бэкона).

“Реформаторское” отношение к логике далее было продолжено. Особое место занимает идея Лейбница о создании caiculis rationaler — исчисления разума, подобного математическому счислению и основывающемуся на универсальном логическом языке — charactiristica universalis, который отличается от естественного языка точностью и однозначностью своих выражений. Идея эта получила развитие лишь в рамках современной Л. ф. Необходимо вспомнить две философские системы, содержащие в своих названиях термин “логика”, которые также были связаны с критикой устоявшихся представлений о логике. Основным пунктом критики был формальный характер логики (определение “формальная” было введено И. Кантом), “пустота” ее предмета, отсутствие содержания.

Во-первых, это трансцендентальная логика Канта, который считал, что логика является с самого начала завершенной наукой, не продвинувшейся после Аристотеля ни на шаг, и предпринял построение теории, занимающейся происхождением, границами и объективной истинностью априорного знания. Во-

==457