Фракталы

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Введение в научный обиход понятия "фрактал" расширило рамки привычных представлений о геометрии окружающего мира. Появляется новая геометрия, неевклидовость которой связана не с постулатом о параллельных, а отказом от неявного постулата о гладкости предметов рассмотрения. В духе "Эрлангенской программы" Феликса Клейна фрактальную геометрию можно определить как геометрию, главная группа которой порождена самоподобными и самоаффинными преобразованиями. Степенные законы с "некрасивыми" и непонятными показателями, во множестве встречающиеся в различных инженерных справочниках, - инварианты самоаффинных преобразований, в конечном счете обусловлены фрактальной структурой тех сред, в которых протекают соответствующие процессы.

Суть этой геометрии в том, что изображения возникают в результате повторного приложения одних и тех же преобразований (или одной и той же функции) к некоторым точкам. Например, если в классическом случае значения функции зависят от изменяющихся значений переменных: f(x1), f(x2), f(x3) …, то в этом случае, значение переменной фиксировано, а итерируется сама функция: f(x), f(f(x)), f(f(f(x))) …и т.д.

 Эстетическая привлекательность фракталов, как геометрически правильных, регулярных аналогов интегрируемых задач классической механики, с высокой точностью моделирующих природные объекты, позволила по-новому взглянуть на представления о хаосе. Хаос, порождаемый не неполнотой описания, а внутренней неустойчивостью нелинейных динамических систем, перестали отождествлять с отсутствием порядка. Хаос обрел тонкую структуру.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Но сегодня фракталы начинают широко использоваться и в моделировании социальной динамики.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"[3]. Пример фрактала можно описать следующим образом. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемойгенератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Эта качественная характеристика фракталов вызвала большой интерес к ним со стороны представителей социальных наук и за последние годы в социологии, в экономике и других науках появилось много работ, оперирующих этим понятием как внутринаучным термином. Фрактал позволяет сжать историю; в кратчайшее время, с помощью компьютерной модели он способен показать возможные следствия из многократного воспроизведения некоторой социальной структуры, причем на самых разных уровнях: от индивидуального до цивилизационного.

Построение триадной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох [3]. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 черезn=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Криваяn-го поколения при любом конечномnназываетсяпредфракталом. Приnстремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом [3].

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. Предельная фрактальная кривая (при nстремящемся к бесконечности) называетсядраконом Хартера-Хейтуэя[3].

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта) [2,3].

Литература

1.Mandelbrot, B. B. (1983). The fractal geometry of nature.New York: Freeman.

        2.Ott, E, Sauer, T., & Yorke, J. A. (1994). Coping with chaos.New York: Wiley.

        3.Peitgen, H.O., Jurgens, H., & Saupe, D. (1992). Chaos and fractals: New frontiers of science.New York: Springer-Verlag.

        4.Port, R. F., & van Gelder, T. (1995). Mind as motion.Cambridge, MA: MIT Press.

5.Theil, H. 1972.Statistical Decomposition Analysis. Amsterdam: North-Holland.

6.Woolgar, S. 1988.Science. The very idea. London/New York: Tavistock Publications.

ГЛОБАЛИЗАЦИЯ И

МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ

Сборник статей

Ответственный редактор Э.Р.Григорьян

Компьютерный дизайн

Изд. лиц. ИД № 01827 от 22.05.2000 г.

Подписано в печать 02.07.2001 г. Формат 60*90/16

Печать офсетная. Усл. печ. л.

Тираж 500 экз. Заказ №

М.: Редакционно-издательский Центр

Института социальных наук

103914, г.Москва, ул.Радио, д. 20

Отпечатано типографией

1¹¹Фусаэ О. Осака с нетерпением ждет приход ХХ! века//Ниппония – 2000 – № 14 – с.7

1¹²Выступление премьер-министра Японии Хасимото Р. в обществе экономических единомышленников – М.-1997-с.15

1¹³Там же, с.16

1¹⁴Подробнее о данной доктрине см. Поспелов Б.В. Отношения Японии со странами АТР-М.-1993-с.52-55

1¹⁵Кардозо Ф. Социальные последствия глобализма // Латинская Америка-1997-№5-с.7

1¹⁶Там же, с.6-7