12. Фракталы

Понятия фракталифрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Словофракталобразовано от латинскогоfractusи в переводе означаетсостоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта«The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875–1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Введение в научный обиход понятия «фрактал» расширило рамки привычных представлений о геометрии окружающего мира. Появляется новая геометрия, неевклидовость которой связана не с постулатом о параллельных, а отказом от неявного постулата о гладкости предметов рассмотрения. В духе «Эрлангенской программы» Феликса Клейна фрактальную геометрию можно определить как геометрию, главная группа которой порождена самоподобными и самоаффинными преобразованиями. Степенные законы с «некрасивыми» и непонятными показателями, во множестве встречающиеся в различных инженерных справочниках, — инварианты самоаффинных преобразований, в конечном счете обусловлены фрактальной структурой тех сред, в которых протекают соответствующие процессы.

Суть этой геометрии в том, что изображения возникают в результате повторного приложения одних и тех же преобразований (или одной и той же функции) к некоторым точкам. Например, если в классическом случае значения функции зависят от изменяющихся значений переменных: f(x1), f(x2), f(x3) …, то в этом случае, значение переменной фиксировано, а итерируется сама функция: f(x), f(f(x)), f(f(f(x)))… и т.д.

Эстетическая привлекательность фракталов, как геометрически правильных, регулярных аналогов интегрируемых задач классической механики, с высокой точностью моделирующих природные объекты, позволила по-новому взглянуть на представления о хаосе.  Хаос, порождаемый не неполнотой описания, а внутренней неустойчивостью нелинейных динамических систем, перестали отождествлять с отсутствием порядка. Хаос обрел тонкую структуру.

Первоначально фракталы стали использоваться в машинной графике, где и сегодня их роль достаточно велика. Они приходят на помощь, когда, например, требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Но сегодня фракталы начинают широко использоваться и в моделировании социальной динамики, в имитационных компьютерных моделях экономических, социальных или цивилизационных процессов.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому»(3). Пример фрактала можно описать следующим образом. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемойгенератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Именно эта качественная характеристика фракталов вызвала большой интерес к ним со стороны представителей социальных наук. За последние годы в социологии, в экономике и других науках появилось много работ, оперирующих этим понятием как внутринаучным термином. Например, в поисках концептуального основания для изучения расширенной международной кооперации экономисты пришли к рассмотрению понятия фрактала – образца, остающегося неизменным независимо от степени его магнификации во всех шкалах. Далее, они делают вывод, что открытые партисипаторные структуры управления, которые показали свою эффективность на локальном уровне, оказываются не менее пригодными и для глобального уровня. По их мнению, степень в которой общество сдвигается с доминирующих до партисипаторных структур расширяет социальную справедливость в глобальном обществе (8).

Фрактал позволяет сжать историю; в кратчайшее время, с помощью компьютерной модели он способен показать возможные следствия из многократного воспроизведения некоторой социальной структуры, причем на самых разных уровнях: от индивидуального до цивилизационного.

Рассмотрим, например, построение триадной кривой Коха — одного из таких фрактальных объектов (3). Построение кривой начинается с отрезка единичной длины — это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 черезn=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха. В 1-ом поколении — это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия — каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Криваяn-го поколения при любом конечномnназываетсяпредфракталом. Приnстремящемся к бесконечности кривая Коха становится фрактальным обьектом (3).

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. Предельная фрактальная кривая (при nстремящемся к бесконечности) называетсядраконом Хартера-Хейтуэя(3).

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта) (2, 3).

Идея фрактала как самоподобной структуры, выявляемой из хаоса сложных процессов легла в основание новой научной парадигмы. Появились такие словосочетания как социальный фрактализм, фрактальное общество, фрактальная эволюция и др. Они означают, что рассмотрение явлений и процессов ведется на основе понимания того, что они характеризуются репликацией (неоднократным воспроизведением) фракталов, имеющих различные шкалы и различный масштаб. Например, процесс эволюции от биологической клетки до человеческого организма представляется множеством фракталов, имеющих разный дизайн и разную степень сложности. Фрактальное структурирование возникает и на уровнях трансформации идей или верований. Например, во всех исторических этапах западной цивилизации идея положительного отношения к войне остается неизменной.

Эта идея унифицированного взгляда расширяется и до глобального социального порядка. Можно представить глобальный мир как наибольший из возможных фрактальных социальных порядков, в котором люди активно участвуют. Можно видеть себя и других как части фрактального образа разной размерности. Например, Т. Янг (7) предлагает использовать в социологии следующую модель: повседневные человеческие взаимодействия, использующие четыре основных символических языка (голос, телодвижения, декоративные украшения, включая одежду, и линия поведения в целом) продуцируют квазистабильные воплощения социальной реальности. Итерации таких воплощений в фазовом пространстве взятые совместно имеют фрактальное самоподобие. Чертами фрактала обладает каждое значимое в культуре конкретное телодвижение, каждая деталь одежды или украшение, каждый поступок. Все воплощения звуков или движений имеют две компоненты – одну стабильную и другую изменяющуюся в зависимости от конкретных условий. Подобное использование знаков, символов, обозначений напоминает геометрию фракталов с бесконечной длиной, бесконечными деталями и бесконечным центром. Даже границы социальных явлений имеют характер фракталов – невозможно четко и ясно провести грань между социальным явлением и его более широким окружением. Невозможно распознать, где начинаются или заканчиваются социальный субъект, социальная связь, случайные обстоятельства или социальная система в целом. Наше восприятие других изменяется, как только мы начинаем взаимодействовать с другими. Но понятие фрактала помогает нам понять эти явления и, в частности, оно указывает, что возникновение социальной структуры не зависит от поведения отдельных людей, скорее структура есть атрибут большого множества взаимодействующих событий, все части которых совместно конституируют целое.

Понятие фрактала освобождает социальные науки от канона физической науки, которому они подчас следуют, и что часто вело их к стерильной математизации. Понятие фрактала как гибкого алгоритма действий является желанным понятием для исследований культуры, возводящих действие в начало и конец своих рассуждений. Для истории как науки оно поможет освободиться от понятия формаций и ввести более точные исторические характеристики различных эпох и регионов. Появляются также развернутые философские концепции и проекты систем образования, ключевым понятием в которых является фрактал.

Литература

1. Mandelbrot, B. B. (1983). The fractal geometry of nature.New York: Freeman.

2. Ott, E, Sauer, T., & Yorke, J. A. (1994). Coping with chaos.New York: Wiley.

3. Peitgen, H.O., Jurgens, H., & Saupe, D. (1992). Chaos and fractals: New frontiers of science.New York: Springer-Verlag.

4. Port, R. F., & van Gelder, T. (1995). Mind as motion.Cambridge, MA: MIT Press.

5. Theil, H. 1972. Statistical Decomposition Analysis. Amsterdam: North-Holland.

6. Woolgar, S. 1988. Science. The very idea. London/New York: Tavistock Publications.

7. Young T.R. 1991. Symbolic Interactional Theory and Nonlinear Dynamics. Michigan: The Red Feather Institute, №149.

8. Frankman M.J. 1993. Fractals and the Common Heritage of Humanity. Canada: Univ. of Prince Edward Island.

* Фусаэ О. Осака с нетерпением ждет приход ХХ! века // Ниппония — 2000 — № 14 — с. 7.

** Выступление премьер-министра Японии Хасимото Р. в обществе экономических единомышленников — М. — 1997 — с. 15.

* Там же, с. 16.

** Подробнее о данной доктрине см. Поспелов Б.В. Отношения Японии со странами АТР-М. — 1993 — с. 52–55.

*** Кардозо Ф. Социальные последствия глобализма // Латинская Америка — 1997 — №5 — с. 7.

* Там же, с. 6–7.